۸
مهر

جلسه ۲۳ : حل انتگرال در متلب

دسته‌بندی‌ها :

جزئیات
نوع محتواآموزش تصویری

فهرست

مقدمه

با عرض سلام و وقت بخیر خدمت کاربران سایت پی وی لرن. و کاربرانی که دوره کامل آموزش متلب را دنبال می کنند. متلب به عنوان یک نرم افزار فنی و مهندسی و محاسباتی قدرتمند، توابع فراوانی را برای حل انواع معادلات درجه ۲ ، ۳ و بالاتر را در اختیار شما قرار می دهد. یکی از قابلیت های محاسباتی و تخصصی متلب ، قابلیت حل انواع انتگرال های ریاضی ساده تا پیچیده می باشد. در این بخش برای آشنایی شما با چگونگی استفاده از توابع حل انتگرال در متلب ،در ادامه ی این بخش به آموزش حل انتگرال در متلب مانند انتگرال نامحدود در متلب پرداخته ایم.

حل انتگرال در متلب

انتگرال ها برای پیدا کردن منطقه، حجم، مرکز جاذبه، نیرو، و در بسیاری از برنامه های کاربردی دیگر استفاده می شود.

پیدا کردن یک انتگرال نامحدود در متلب

اگر مشتق تابع (f (x تابع ( f ‘(x باشد، می توان گفت که انتگرال نامحدودی از (f’ (x با توجه به مقدار (x f (x وجود دارد.

به عنوان مثال، از آنجا که مشتق x2 برابر ۲x است، می توانیم بگوییم یک انتگرال نامحدود ۲x برابر x2 است.

و بطور نمادین:

f'(x²) = 2x
∫ ۲xdx = x²

یک انتگرال نامحدود منحصر به فرد نیست، زیرا مشتق x2 + c برای هر مقدار یک ثابت c برابر ۲x است.

حالت نمادین آن بصورت ∫ ۲xdx = x² + c می باشد.

همچنین مقدار C نیز یک “ثابت دلخواه” می باشد.

MATLAB دستور int را برای محاسبه انتگرال یک عبارت فراهم می کند.

برای بیان عبارت برای انتگرال نامحدودی از یک تابع در متلب بصورت زیر می نویسیم:

مثال :

int(f);

int(f);

به عنوان مثال :

مثال :

syms x 
int(2*x)

1 2	syms x int(2*x)

متلب برای کد فوق نتیجه ی زیر را نمایش می دهد:

مثال :

ans =
   x^2

ans =

x^2

مثال ۱ – فایل اسکریپتی ایجاد کرده و کد زیر را در آن قرار دهید:

مثال :

syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

syms x n

int(sym(x^n))

f = 'sin(n*t)'

int(sym(f))

syms a t

int(a*cos(pi*t))

int(a^x)

نتیجه ی اجرای کد فوق در متلب:

مثال :

ans =
   piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
   -cos(n*t)/n
   ans =
   (a*sin(pi*t))/pi
   ans =
   a^x/log(a)

ans =

piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])

f =

sin(n*t)

ans =

-cos(n*t)/n

ans =

(a*sin(pi*t))/pi

ans =

a^x/log(a)

مثال ۲- فایل اسکریپتی ایجاد کرده و کد زیر را در آن قرار دهید:

مثال :

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

syms x n

int(cos(x))

int(exp(x))

int(log(x))

int(x^-1)

int(x^5*cos(5*x))

pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)

int(sec(x)^2)

pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)

pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

توجه داشته باشید که تابع pretty بیانگر یک فرمت قابل خواندن است.

با اجرای فایل فوق، نتیجه ی زیر را مشاهده خواهید کرد:

مثال :

ans =
   sin(x)
 
ans =
   exp(x)
 
ans =
   x*(log(x) - 1)
 
ans =
   log(x)
 
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4 
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 
      3125            625             125              5 
   
        3             5 
 
   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
   ------------- + ----------- 
         25              5
 
ans =
-1/(4*x^4)
 
ans =
tan(x)
        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)
 
ans = 
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
 
      6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

ans =

sin(x)

ans =

exp(x)

ans =

x*(log(x) - 1)

ans =

log(x)

ans =

(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5

2 4

24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)

----------- + ------------- - -------------- + ------------

3125 625 125 5

3 5

4 x sin(5 x) x sin(5 x)

------------- + -----------

25 5

ans =

-1/(4*x^4)

ans =

tan(x)

x (3 x - 5 x + 1)

ans =

- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2

6 5 4 3

7 x 3 x 5 x x

- ---- - ---- + ---- + --

12 5 8 2

پیدا کردن یک انتگرال محدود در متلب

ما از انتگرال های قطعی برای پیدا کردن مناطق مانند ناحیه بین یک منحنی و محور x و منطقه بین دو منحنی استفاده می کنیم.

انتگرال های انتزاعی نیز می توانند در دیگر موقعیت ها استفاده شوند.

جایی که مقدار مورد نیاز می تواند به عنوان حد یک بیان شود.

از تابع int می توان برای حل انتگرال های محدود استفاده کرد.

برای نمونه اگر بخواهیم انتگرال زیر را محاسبه کنیم:

حالا بصورت زیر می نویسیم:

مثال :

int(x, a, b)

1	int(x, a, b)

برای مثال برای حل انتگرال زیر :

حالا بصورت زیر می نویسیم:

مثال :

int(x, 4, 9)

1	int(x, 4, 9)

نتیجه ی اجرای کد فوق در متلب بصورت زیر خواهد بود:

مثال :

ans =
   65/2

1 2	ans = 65/2

در Octave نیز بصورت زیر می نویسیم:

مثال :

x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));

x = sym("x");

f = x;

c = [1, 0];

integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);

display('Area: '), disp(double(a));

نتیجه ی اجرای کد فوق بصورت زیر خواهد بود:

مثال :

Area: 

   32.500

Area:

32.500

را حل دیگر استفاده از تابع () quad ارائه شده توسط Octave بصورت زیر است:

مثال :

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

f = inline("x");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

نتیجه ی اجرای کد فوق بصورت زیر خواهد بود:

مثال :

Area: 
   32.500

1 2	Area: 32.500

مثال ۱- برای نمونه منحنی y = x3-2x + 5 و ordinates x = 1 و x = 2 را محاسبه کنیم:

انتگرال مورد نظر بصورت زیر است:

انتگرال نمونه 3

در قدم اول فایل اسکریپتی ایجاد کرده . کد زیر را در آن وارد می کنیم:

مثال :

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

f = x^3 - 2*x +5;

a = int(f, 1, 2)

display('Area: '), disp(double(a));

با اجرای کد فوق نتیجه ی زیر را مشاهده خواهید کرد:

مثال :

a =
23/4
Area: 
   5.7500

a =

23/4

Area:

5.7500

در محیط Octave معادلات فوق بصورت زیر است:

مثال :

x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));

x = sym("x");

f = x^3 - 2*x +5;

c = [1, 0, -2, 5];

integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);

display('Area: '), disp(double(a));

نتیجه ی اجرای کد فوق بصورت زیر است:

مثال :

Area: 

   5.7500

Area:

5.7500

همچنین می توانید از تابع ()quad ارائه شده توسط Octave بصورت زیر استفاده کنید:

مثال :

x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

x = sym("x");

f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);

display('Area: '), disp(double(a));

نتیجه ی اجرای کد فوق در Octave:

مثال :

Area: 
   5.7500

1 2	Area: 5.7500

مثال ۲- می خواهیم انتگرال (f(x) = x² cos(x را در محدوده ی −۴ ≤ x ≤ ۹ محاسبه کنیم.

ابتدا فایل اسکریپت را ایجاد کرده و کد زیر را در آن تایپ می کنیم:

مثال :

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

f = x^2*cos(x);

ezplot(f, [-4,9])

a = int(f, -4, 9)

disp('Area: '), disp(double(a));

در زمان اجرا متلب رسم زیر را نمایش خواهد داد:

رسم نمودار انتگرال در متلب

خروجی زیر را دریافت خواهید کرد:

مثال :

a = 
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
 
Area: 
   0.3326

a =

8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)

Area:

0.3326

کدهای فوق در Octave بصورت زیر خواهد بود:

مثال :

x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));

x = sym("x");

f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])

print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

کلام آخر

همانطور که اشاره کردیم یکی از قابلیت های ویژه و کاربردی در نرم افزار فنی و مهندسی متلب ، قابلیت حل انواع و اقسام معادلات انتگرال در متلب می باشد. از این رو مباحث این بخش را نیز به آموزش حل انتگرال در متلب اختصاص دادیم.

به اشتراک بگذارید

دیدگاه کاربران

تعداد دیدگاه : 1

رضا قربانپور طاهری
مهر ۱, ۱۳۹۸
بسمه و تعالی و با سلام و با تشکر لطفا در رابطه با حل انتگرال زیر با مطلب اینجانب را راهنمایی فرمایید:
int(sinint(x)/cos(x)^2)
پاسخ دادن

برای صرف‌نظر کردن از پاسخ‌گویی اینجا را کلیک کنید.

پی وی لرن – آموزش برنامه نویسی و طراحی وب سایت

دوره های آموزشی آکادمی پی وی لرن (پروژه محور و ویژه بازار کار)

جلسه ۲۳ : حل انتگرال در متلب

مقدمه

حل انتگرال در متلب

پیدا کردن یک انتگرال نامحدود در متلب

پیدا کردن یک انتگرال محدود در متلب

کلام آخر

لیست مطالب دوره

آموزش های پیشرفته

مطالب ویژه

دسته های اصلی

برگه ها

بلاگ